証明の読み方・考え方 読書メモ 第6章

続きです。

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証明の読み方　6章　限定詞　ー III　帰納法

・「すべての」という限定詞を含み、結論Bが特殊な形をしているとき、数学的帰納法がつかえることがある

・Bがすべての正の整数nに対して「あることが成り立つ」という形のとき、帰納法をもちいてみる

・抽出法と同じように、帰納法もまた一種の自動証明機械のようなものである

・P(ｎ)が成り立つとみなしたとき、P(n+1)が成り立つことが確定するようにつくってやればよい

・すべての操作を始めるまえにP(１)が成り立つことを証明しておく

・P(n+1)をなんらかの方法で、P(n)を用いて書き換えることを考える

・nの最初の値は１でなくてもよい問題もある

・P(ｎ)だけでなく、その前にあるすべての命題が成り立つと仮定して使うことができ、このような証明法を累積帰納法という

・帰納法の成功の鍵は、P(n+1)をP(n)またはその前にある命題とうまく関連づけられるかどうかである

メモ
この章は数学的帰納法について解説しています。高校数学でもおなじみです。前章の抽出法はこういった名称や概念で教えられることがないため意識し難いと感じられます。すべての・・・であり一部分をとってきてそれがもつ性質をつかって要求されるものを示すという広い立場では、抽出法も帰納法も同じように捉えることができるように思います。帰納法のほうが方法・やり方がはっきりしているわかりやすい気がします。